Мне сказали,что я оформлена на работу официально,но трудовой книжки не спрашивали и не заводили.Возможно ли такое?

Такое возможно, если Вы устраиваетесь на работу, например, домработницей, няней и т.п, к физическому лицу, которое не является индивидуальным предпринимателем. Физические лица не имеют права вести трудовую книжку. Но и в этом случае с Вами обязательно должны заключить трудовой договор.