Может ли директор ООО (он же один из учредителей) выписать доверенность на учредителя того же ООО

Доверенность выдается для совершения юридически значимых действий от имени фирмы. Для контрагента документом для совершения каких то действий является правильно оформленная доверенность и документ, удостоверяющий личность предъявителя доверенности. Для юридической законченности, конечно, необходимо установить взаимоотношения между фирмой и учредителем, которому выдали доверенность гражданско-правового характера (например, договорные отношения). Зачастую эту часть сделки фирма опускает, что приводит к нежелательным последствиям при наступления спорных моментов.